重繩AB所成的曲線是懸鏈線。懸鏈線 (Catenary) 是一種曲線，它的形狀因與懸在兩端的繩子因均勻引力作用下掉下來之形相似而名。適當選擇坐標系后，懸鏈線的方程是一個雙曲余弦函數。等高懸鏈線數學表達式：y = a*cosh(x/a)其中 a 是一個常數。表達式的證明設最低點A處受水平向左的拉力H，右懸掛點處表示為C點，在AC弧線區段任意取一段設為B點，則B受一個斜向上的拉力T，設T和水平方向夾角為θ，繩子的質量為m,受力分析有： 注釋Tsinθ=mg；Tcosθ=H，tanθ=dy/dx=mg/H，mg=ρs，，其中s是右段AB繩子的長度，ρ是繩子線重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧長公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以把s帶入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.....(1)對于(1)設p=dy/dx微分處理得 p'=ρ/H*√(1+p^2)......(2)p'=dp/dx;對（2）分離常量求積分∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C，即asinhp（反雙曲正弦）=ρx/H+C當x=0時，dy/dx=p=0；帶入得C=0；整理得asinhp=ρx/H 另祥解： （ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H）；p=sh(ρx/H) （1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2）；(p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx)；y=ch (ρx/H)* H / ρ （y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)] ）；令a=H/ρ： y=a*cosh (x/a)(y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2)= a*cosh(x/a))。

力學問題

懸掛細鏈的圖像是一條懸鏈線，若以懸鏈最低點為坐標原點，則懸鏈線的方程為：y= a*cosh(x/a)=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/2；其中cosh(x/a)=[e^(x/a)+e^(-x/a)]/2叫做雙曲余弦函數；a是一個常量，a=H/ρ，H為懸鏈最低點處受到的水平拉力，ρ為懸鏈的線密度，ρ=m/l。這個題里面，已知懸掛處鏈條與豎直方向成夾角α，分析右半邊懸鏈的受力情況，它在最低點的水平拉力H，懸掛點的拉力T和重力的作用下保持平衡。因此可以計算出H=1/2mg*tanα，T=mg/(2cosα)。所以常數a=1/2gl*tanα將a的值帶入y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/2，這樣本問題的方程就出來了。這樣只需要知道懸掛點的橫坐標，就可以求出其縱坐標，也就是距離天花板的高度H0。要解決橫坐標還需要用到一個公式，懸鏈上任何一點到懸鏈最低點的長度公式L=a*sinh(x/a)=a[e^(x/a)-e^(-x/a)]/2，因為從懸掛點到最低點細鏈的長度為l/2，帶入上式。因為涉及到指數函數，所以直接求解出橫坐標x，是不可能的。但是我們可以利用雙曲正弦函數和雙曲余弦函數的關系，解決問題。其中有一個關系式是這樣的，cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1因此我們還是可以求得 a*cosh(x/a)的值。

懸鏈線的歷史趣聞

達·芬奇不僅是意大利的著名畫家，他畫的《蒙娜麗莎》帶給了世界永恒的微笑，而且他還是數學家、物理學家和機械工程師，他學識淵博，多才多藝，幾乎在每個領域都有他的貢獻，他還是數學上第一個使用加、減符號的人，他甚至認為：“在科學上，凡是用不上數學的地方，凡是與數學沒有交融的地方，都是不可靠的”。他本人在創作《蒙娜麗莎》時，認真地研究了主人公的心理，做了各種精確的數學計算，來確定人物的比例結構，以及半身人像與背景間關系的構圖問題。當我們欣賞著他的《抱銀貂的女人》中脖頸上懸掛的黑色珍珠項鏈時，我們注意的是項鏈與女人相互映襯的美與光澤，而不會像達·芬奇那樣去苦苦思索這樣一個問題：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的懸鏈線問題，達芬奇還沒有找到答案就去世了。 與達芬奇的時代時隔170年，久負盛名的雅各布·伯努利在一篇論文中提出了確定懸鏈線性質（即方程）的問題。實際上，該問題存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推測過懸鏈線是一條拋物線，但問題一直懸而未決。雅各布覺得，應用奇妙的微積分新方法也許可以解決這一問題。但遺憾的是，面對這個苦惱的難題，他沒有絲毫進展。一年后，雅各布的努力還是沒有結果，可他卻懊惱地看到他的弟弟約翰·伯努利發表了這個問題的正確答案。而自命不凡的約翰，卻幾乎不可能算是一個謙和的勝利者，因為他后來回憶說：我哥哥的努力沒有成功；而我卻幸運得很，因為我發現了全面解開這道難題的技巧（我這樣說并非自夸，我為什么要隱瞞真相呢？）……沒錯，為研究這道題，我整整一晚沒有休息……不過第二天早晨，我就滿懷欣喜地去見哥哥，他還在苦思這道難題，但毫無進展。他像伽利略一樣，始終以為懸鏈線是一條拋物線。停下！停下！我對他說，不要再折磨自己去證明懸鏈線是拋物線了，因為這是完全錯誤的。可笑的是，約翰成功地解出這道難題，僅僅犧牲了“整整一晚”的休息時間，而雅各布卻已經與這道題持續搏斗了整整一年，這實在是一種“奇恥大辱”。

求懸鏈線y=1/2(e∧x +e∧-x)從x=0到x=a (a>0)之間的一段弧長

y=[e^x +e^(-x)]/2，則 y'=[e^x -e^(-x)]/2，ds=√(1+y'2) dx=(1/2)[e^x +e^(-x)] dx；∴ S=∫ds=∫(1/2)[e^x +e^(-x)]dx=[e^x-e^(-x)]/2 +C；當 0≤x≤a，S=[e^a -e^(-a)]/2；

懸鏈線方程是什么？

懸鏈線的方程是一個雙曲余弦函數，其標準方程為：y=a cosh(x/a)。

懸鏈線 (Catenary)指的是一種曲線，指兩端固定的一條(粗細與質量分布)均勻、柔軟(不能伸長)的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀。

例如懸索橋等，因其與兩端固定的繩子在均勻引力作用下下垂相似而得名。適當選擇坐標系后，懸鏈線的方程是一個雙曲余弦函數，其標準方程為：y=a cosh(x/a)，其中，a為曲線頂點到橫坐標軸的距離。

發展

從外表上看，懸鏈線真的很像拋物線。荷蘭物理學家惠更斯用物理方法證明了這條曲線不是拋物線，但到底是什么，他一時也求不出來。直到幾十年后，雅各布·伯努利再次提出這個問題。

解決問題

與達芬奇的時代時隔170年，久負盛名的雅各布·伯努利在一篇論文中提出了確定懸鏈線性質（即方程）的問題。實際上，該問題存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推測過懸鏈線是一條拋物線，但問題一直懸而未決。雅各布覺得，應用奇妙的微積分新方法也許可以解決這一問題。

懸索線和懸鏈線的數學方程一樣嗎

一個完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，并只受重力的影響，這個鏈子形成的曲線形狀被稱為懸鏈線。1690年，荷蘭物理學家、數學家、天文學家、發明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在給德國著名博學家戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Leibniz）的一封信中創造了這個名字。懸鏈線與拋物線相似。意大利偉大的天文學家、物理學家和工程師伽利略是第一個研究懸鏈線的人，并錯誤地將其形狀認定為拋物線。1691年，萊布尼茨、惠根斯和瑞士數學家約翰·伯努利分別得出了正確的形狀。他們都是為了響應瑞士數學家雅各布·伯努利（約翰的哥哥）提出的一項挑戰，即得到“懸鏈線”方程。圖1：從左到右分別是雅各布·伯努利，戈特弗里德·萊布尼茨，克里斯蒂安·惠更斯和約翰·伯努利?萊布尼茨和惠更斯發給雅各布·伯努利的圖如下所示。他們發表在《博學學報》上，這是歐洲德語國家的第一份科學期刊。圖1：萊布尼茨和惠更斯提交給雅各布·伯努利的答案。約翰·伯努利很高興，他成功地解決了他哥哥雅各布沒能解決的問題。27年后，他在一封信中寫道：我哥哥的努力沒有成功。就我而言，我更幸運，因為我發現了這個問題的答案。對于我當時的年齡和經驗來說，這是一個巨大的成就。……我滿心歡喜地跑到哥哥那里，他一直在苦苦地與這個難題作斗爭，卻沒有任何進展，總是像伽利略一樣認為這個鏈線是一個拋物線。我對他說，不要再折磨自己了，不要再試圖用拋物線來尋求懸鏈的方程了，因為那是完全錯誤的。——約翰·伯努利求懸鏈線方程為求懸鏈線方程，作以下假設：懸鏈懸掛在兩點之間，靠自身重量懸掛。懸鏈是靈活的，有一個統一的線性重量密度（等于w_0）。為了簡化代數上的繁瑣，我們讓y軸通過曲線的最小值。從最小值到點(x, y)的線段長度用s表示。作用在線段上的三個力分別為張力T_0和T以及它自身的重力w_0s（見下圖）。前兩個力與懸鏈相切。圖2：此圖包含計算中使用的參數和變量。要使每一段在水平和垂直上達到平衡，必須滿足以下兩個條件：式1：長度為s的懸鏈的平衡條件。我們需要解的微分方程是：式2：我們要解的微分方程。現在我們要把這個方程寫成y和x的形式。我們首先對它求導得到：式3：式2的導數。ds/dx的導數可以用dy/dx表示如下：式4圖3：式4中使用的無窮小三角形則式3為：式5：懸鏈線微分方程。為了快速求解式5，我們引入以下變量：式6：解方程5時u的定義利用式6，式5變成：式7：用變量u表示式5。?這個方程可以通過變量分離和一個簡單的三角代換（u = tan θ）來積分：式8：積分后的式7。?因為y軸經過曲線的最小值：式9：變量u在曲線的最小值處為零。?將式9代入式8得到：式10：用式9求出式8中的c。?將c=0代入式8，求解u，得到：式11：方程5的解，得出了懸鏈線方程。